轮式运动学模型总结

介绍电机驱动轮子移动的机器人，即轮式机器人的运动学模型，重点分析两轮差速、四轮差速、阿克曼、全向运动4个运动模型的基本原理和数学模型。

一、两轮差速模型（Two-Wheel Differential Drive）

1.1 基本原理

结构特点：

• 两个主动驱动轮分别位于底盘左右两侧
• 前方/后方配有1-2个万向轮作为支撑
• 通过控制左右轮的速度差实现转向

运动特性：

• ✅ 可原地旋转（左右轮反向等速）
• ✅ 可走任意曲线轨迹
• ❌ 不能侧向平移
• ❌ 速度向量约束：$v_y = 0$

物理基础：

• 驱动力来源：地面对轮子的滚动摩擦力
• 转向原理：左右轮线速度差产生角速度

---

1.2 数学模型

1.2.1 坐标系定义

• 全局坐标系：$\{X, Y\}$
• 机器人坐标系：$\{x, y\}$，x轴指向前进方向
• 状态变量：$\xi = [x, y, \theta]^T$

1.2.2 运动学约束

无侧向滑动约束：

$$\dot{x} \sin\theta - \dot{y} \cos\theta = 0$$

速度分解：

$$\begin{cases} \dot{x} = v_x \cos\theta \\ \dot{y} = v_x \sin\theta \\ \dot{\theta} = \omega_z \end{cases}$$

1.2.3 前向运动学（Forward Kinematics）

输入： 左右轮线速度 $V_L, V_R$
输出： 底盘整体速度 $v_x, \omega_z$

几何关系推导：

设左右轮在时间 $\Delta t$ 内走过的路程分别为 $s_L, s_R$：

$$\begin{cases} s_R = V_R \cdot \Delta t = \theta \cdot (r + \frac{d}{2}) \\ s_L = V_L \cdot \Delta t = \theta \cdot (r - \frac{d}{2}) \end{cases}$$

其中：

• $d$：左右轮轴距
• $r$：旋转中心到底盘中心的距离
• $\theta$：旋转角度

上式相减得：

$$V_R - V_L = \frac{\theta}{\Delta t} \cdot d = \omega_z \cdot d$$

因此：

$$\omega_z = \frac{V_R - V_L}{d}$$

上式相加得：

$$V_R + V_L = \frac{\theta}{\Delta t} \cdot 2r = \omega_z \cdot 2r$$

底盘中心线速度：

$$v_x = \omega_z \cdot r = \frac{V_R + V_L}{2}$$

矩阵形式：

$$\begin{bmatrix} v_x \\ \omega_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{d} & \frac{1}{d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_L \\ V_R \end{bmatrix}$$

1.2.4 逆向运动学（Inverse Kinematics）

输入： 底盘目标速度 $v_x, \omega_z$
输出： 左右轮目标速度 $V_L, V_R$

对前向运动学矩阵求逆：

$$\begin{bmatrix} V_L \\ V_R \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -\frac{d}{2} \\ 1 & \frac{d}{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ \omega_z \end{bmatrix}$$

展开形式：

$$\begin{cases} V_L = v_x - \frac{d}{2} \omega_z \\ V_R = v_x + \frac{d}{2} \omega_z \end{cases}$$

1.2.5 轮子线速度计算

编码器反馈计算：

$$V = \frac{2\pi R}{N \cdot P} \cdot \frac{M}{\Delta t}$$

其中：

• $M$：采样周期内编码器计数值
• $P$：编码器线数（一圈总脉冲数）
• $N$：电机减速比
• $R$：轮子半径
• $\Delta t$：采样周期

---

二、四轮差速模型（Four-Wheel Differential Drive）

2.1 基本原理

结构类型：

1. 履带式：左右两侧各用履带连接前后轮
2. 机械连杆式：通过链条/连杆同步前后轮
3. 四电机独立驱动：每个轮子独立电机控制

运动特性：

• ✅ 载重能力强
• ✅ 稳定性好（四点支撑）
• ❌ 存在侧向滑动
• ❌ 里程计精度低于两轮差速

---

2.2 数学模型

2.2.1 理想情况（无侧滑）

当 左右轮距 >> 前后轮距 时，可近似为两轮差速：

$$\begin{bmatrix} v_x \\ \omega_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ -\frac{1}{d} & \frac{1}{d} & -\frac{1}{d} & \frac{1}{d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \\ V_3 \\ V_4 \end{bmatrix}$$

其中 $V_1, V_2, V_3, V_4$ 分别为左前、右前、右后、左后轮速度。

2.2.2 侧向滑动分析

质心（COM）与几何中心（COG）不重合时：

设质心偏移量为 $d_{cx}$（沿x轴），转弯时质心处的侧向速度：

$$v_{cy} = \omega_z \cdot d_{cx}$$

结论：

• 当 $\omega_z \neq 0$ 且 $d_{cx} \neq 0$ 时，必然产生侧向滑动
• 侧滑导致里程计累积误差增大

2.2.3 考虑侧滑的运动学模型

完整的速度向量：

$$\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ \omega_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\ k_1 & k_2 & k_3 & k_4 \\ -\frac{1}{d} & \frac{1}{d} & -\frac{1}{d} & \frac{1}{d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \\ V_3 \\ V_4 \end{bmatrix}$$

其中 $k_i$ 为侧滑系数，需通过实验标定。

---

三、阿克曼模型（Ackermann Steering）

3.1 基本原理

结构特点：

• 前轮转向，后轮驱动（经典汽车结构）
• 前轮通过阿克曼梯形机构实现差速转向
• 驱动方式：前驱/后驱/四驱

阿克曼转向几何：

• 转弯时，内外前轮转角不同
• 所有轮子的转向轴线交于同一点（瞬时转向中心ICR）
• 避免轮胎侧滑，减少磨损

运动特性：

• ✅ 高速稳定性好
• ✅ 适合长距离直线行驶
• ❌ 不能原地旋转
• ❌ 最小转弯半径 $R_{min} > 0$
• ❌ 不能走直角路径

---

3.2 数学模型

3.2.1 后驱阿克曼前向运动学

后轮速度关系（与两轮差速相同）：

$$\begin{bmatrix} v_{back} \\ \omega_{back} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{d} & \frac{1}{d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_L \\ V_R \end{bmatrix}$$

前轮转角约束：

$$\delta = \arctan\left(\frac{l \cdot \omega_{back}}{v_{back}}\right)$$

其中：

• $\delta$：前轮平均转角
• $l$：前后轴距（轴距）
• $v_{back}$：后轴中心线速度
• $\omega_{back}$：后轴角速度

3.2.2 阿克曼转向几何关系

左右前轮转角关系：

$$\cot\delta_L - \cot\delta_R = \frac{d}{l}$$

其中：

• $\delta_L, \delta_R$：左右前轮转角
• $d$：左右轮距
• $l$：前后轴距

转弯半径：

$$R = \frac{l}{\tan\delta}$$

最小转弯半径：

$$R_{min} = \frac{l}{\tan\delta_{max}}$$

其中 $\delta_{max}$ 为前轮最大转角（通常约30°-40°）。

3.2.3 完整运动学方程

后轴中心速度：

$$\begin{bmatrix} \dot{x}_{back} \\ \dot{y}_{back} \\ \dot{\theta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_{back} \cos\theta \\ v_{back} \sin\theta \\ \frac{v_{back}}{l} \tan\delta \end{bmatrix}$$

车辆中心速度（后轴中心前移 $l/2$）：

$$\begin{bmatrix} \dot{x} \\ \dot{y} \\ \dot{\theta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_{back} \cos\theta + \frac{l}{2} \omega \sin\theta \\ v_{back} \sin\theta - \frac{l}{2} \omega \cos\theta \\ \omega \end{bmatrix}$$

其中 $\omega = \frac{v_{back}}{l} \tan\delta$

---

四、全向模型（Omnidirectional Drive）

4.1 基本原理

麦克纳姆轮结构：

• 轮子外圈安装多个斜向滚轴
• 滚轴角度：45°（常见）或90°
• 四个轮子组合实现全向移动

45°麦轮布局：

左前轮：滚轴左斜45°  ╱
右前轮：滚轴右斜45°  ╲
右后轮：滚轴左斜45°  ╱
左后轮：滚轴右斜45°  ╲

运动特性：

• ✅ 三自由度独立控制：$v_x, v_y, \omega_z$ 相互独立
• ✅ 可侧向平移（侧方停车简单）
• ✅ 运动最灵活
• ❌ 结构复杂，成本高
• ❌ 45°麦轮运动有颠簸

---

4.2 数学模型

4.2.1 单个麦轮速度分解

45°麦轮的速度分解：

设第 $i$ 个轮子的滚轴方向与x轴夹角为 $\alpha_i$，轮子线速度为 $V_i$：

$$V_i = v_x \sin\alpha_i + v_y \cos\alpha_i + \omega_z \cdot r_i$$

其中：

• $v_x, v_y$：底盘在机器人坐标系下的线速度分量
• $\omega_z$：底盘角速度
• $r_i$：第 $i$ 个轮子到底盘中心的距离

4.2.2 四轮麦克纳姆逆向运动学

标准布局（45°麦轮）：

$$\begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \\ V_3 \\ V_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -(a+b) \\ 1 & 1 & (a+b) \\ 1 & 1 & -(a+b) \\ 1 & -1 & (a+b) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ \omega_z \end{bmatrix}$$

其中：

• $V_1, V_2, V_3, V_4$：左前、右前、右后、左后轮速度
• $a$：底盘中心到前后轴的距离
• $b$：底盘中心到左右轮的距离

4.2.3 四轮麦克纳姆前向运动学

求伪逆得：

$$\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ \omega_z \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ -\frac{1}{a+b} & \frac{1}{a+b} & -\frac{1}{a+b} & \frac{1}{a+b} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \\ V_3 \\ V_4 \end{bmatrix}$$

4.2.4 90°麦轮模型

优势： 减少运动颠簸

逆向运动学矩阵：

$$\begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \\ V_3 \\ V_4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & (a+b) \\ 1 & 0 & (a+b) \\ 0 & 1 & -(a+b) \\ 1 & 0 & -(a+b) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ \omega_z \end{bmatrix}$$

---

五、统一运动学框架

5.1 通用状态空间模型

位姿状态：

$$\xi = [x, y, \theta]^T$$

速度输入：

$$u = [v_x, v_y, \omega_z]^T$$

运动学微分方程：

$$\dot{\xi} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} u$$

离散化（欧拉法）：

$$\xi_{k+1} = \xi_k + \begin{bmatrix} v_x \cos\theta - v_y \sin\theta \\ v_x \sin\theta + v_y \cos\theta \\ \omega_z \end{bmatrix}_k \Delta t$$

---

5.2 各模型速度约束对比

模型	$v_x$	$v_y$	$\omega_z$	约束条件
两轮差速	✓	✗	✓	$v_y = 0$
四轮差速	✓	≈0	✓	$v_y \approx 0$（有侧滑）
阿克曼	✓	✗	✓	$v_y = 0, |\omega| \leq \frac{v_x \tan\delta_{max}}{l}$
全向	✓	✓	✓	无约束

---

六、轮式里程计（Wheel Odometry）

6.1 基本原理

定义： 利用编码器 + 运动学模型 + 航迹推演算法估计位姿

航迹推演公式：

$$\begin{bmatrix} x_{k+1} \\ y_{k+1} \\ \theta_{k+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_k \\ y_k \\ \theta_k \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} v_x \cos\theta_k - v_y \sin\theta_k \\ v_x \sin\theta_k + v_y \cos\theta_k \\ \omega_z \end{bmatrix} \Delta t$$

6.2 误差来源

1. 编码器量化误差
2. 运动学模型参数误差（轮距 $d$、轮径 $R$）
3. 轮子打滑（侧滑、空转）
4. 地面不平
5. 累积误差（时间越长误差越大）

6.3 误差协方差传播

线性化误差传播：

$$\Sigma_{k+1} = F_k \Sigma_k F_k^T + Q_k$$

其中：

• $F_k$：雅可比矩阵
• $Q_k$：过程噪声协方差

---

七、各模型性能对比总结

特性	两轮差速	四轮差速	阿克曼	全向
灵活性	★★★★☆	★★★☆☆	★★☆☆☆	★★★★★
稳定性	★★☆☆☆	★★★★☆	★★★★★	★★★☆☆
载重能力	★★☆☆☆	★★★★☆	★★★★★	★★☆☆☆
里程计精度	★★★★☆	★★★☆☆	★★★★☆	★★☆☆☆
成本	★★★★★	★★★☆☆	★★★☆☆	★☆☆☆☆
最小转弯半径	0	0	$> 0$	0
侧向移动	✗	✗	✗	✓
典型应用	教育/服务	工业AGV	无人驾驶	狭窄空间

---

八、关键公式速查表

两轮差速

$$\begin{bmatrix} v_x \\ \omega_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{d} & \frac{1}{d} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_L \\ V_R \end{bmatrix}$$

阿克曼转向

$$\delta = \arctan\left(\frac{l \cdot \omega}{v}\right), \quad R = \frac{l}{\tan\delta}$$

全向（45°麦轮）

$$\begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ \omega_z \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & -1 \\ -\frac{1}{a+b} & \frac{1}{a+b} & -\frac{1}{a+b} & \frac{1}{a+b} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_1 \\ V_2 \\ V_3 \\ V_4 \end{bmatrix}$$

航迹推演

$$\begin{bmatrix} x_{k+1} \\ y_{k+1} \\ \theta_{k+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_k \\ y_k \\ \theta_k \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} v_x \cos\theta - v_y \sin\theta \\ v_x \sin\theta + v_y \cos\theta \\ \omega_z \end{bmatrix}_k \Delta t$$

---

总结： 选择底盘模型需综合考虑应用场景、成本、性能需求。两轮差速适合教育和小型服务机器人，阿克曼适合高速长距离场景，全向适合狭窄空间精密操作。